Zahlenbereiche

  • Natürliche Zahlen (Ganze, Positive) $\mathbb{N} := \{1,2,3,...\}$
  • Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
  • Rationale Zahlen (Brüche) $\mathbb{Q}$
  • Irrationale Zahlen (Nicht als Bruch darstellbar z.b. $\sqrt{3}$) $\mathbb{I}$
  • Reelle Zahlen $\mathbb{R} = \mathbb{I} + \mathbb{Q}$
  • Komplexe Zahlen (Aus Negativer Wurzel Ziehen) $\mathbb{C}$

Negation

  • Aussage $A$ "Alle Franzosen essen Baguette
  • $\neg A$ "Es gibt mindestens einen Franzosen, der kein Baguette ist

Junktoren

  • Verknüpfung 2er logischer Aussagen
  • $\land$ Konjunktion bzw UND
  • $\lor$ Disjunktion bzw ODER

Quantoren

  • $\exists$ Es gibt mindestens 1 Element
  • $\exists!$ Es gibt genau 1 Element
  • $\forall$ Für alle bzw Allquantor

Teilmengen

  • $M \subset N$ oder $M \subseteq N$ M ist eine Teilmenge von N
  • $M \nsubseteq N$ M ist keine Teilmenge von N
  • $M = N$ gdw $M \subset N$ und $M \subset N$
  • $M \neq N$ ungleich
  • $M \subsetneqq N$ M ist eine Echte Teilmenge von N gdw $M \subset N$ und $M \neq N$

Familie

  • Schreibweise von Funktionen bzw deren Elemente indiziert durch I
  • Funktion $f := I \to M$
  • Familie ${(f(i))}_{i \in I}$

Implikation, Äquivalenz

  • $A \Rightarrow B$ "Aus A folgt B" oder "wenn, dann"
  • $A \Leftrightarrow B$ gdw $A \Rightarrow B$ und $B \Rightarrow A$ bedeutet "genau dann, wenn"

Mengen Kombination

  • $M \cap N$ Durchschnitt
  • $M \cup N$ Vereinigung (Gesamte Menge)
  • $M \setminus N$ Differenz
  • Kompliment von Y in X gdw $X \setminus Y$ und Y Teilmenge von X

Tupel

  • Wie Menge aber Reihenfolge ist wichtig
  • Es kann duplikate Geben
  • Schreibweise $(x_1, ..., x_n)$ bzw $(x_i)_{1 \le, i \le, n}$ bzw $(x_i)_{i \in \{1,...,n\}}$
  • In Spezialfällen werden sie auch Paar oder Trippel genannt

Folgen

  • Schreibweise einer Funktion
  • Folge der Funktion $x: I \to M, i \mapsto x(i) =: x_i$ wird als Folge $(x_i)_{i \ge m}$ geschrieben

Kartesisches Produkt

  • Kombination 2er Mengen
  • Ergibt Menge
  • Wenn $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{4,5\}$ dann ist $A \times B := \{(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5)\}$

Relationen

  • Releationssymbol $\sim$
  • reflexiv falls $x \sim x$ Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent
  • symmetrisch falls $x \sim y \Leftrightarrow y \sim x$
  • Transitiv falls $x \sim y, y \sim z \Rightarrow x \sim z$
  • Äquivalenzrelation falls reflexiv, symmetrisch und transitiv

Abbildungen

  • Identität $id(x) := x$ für alle $x \in X$
  • Injektiv wenn keine 2 verschiedenen x auf selbes y verweisen
  • Surjektiv wenn für jedes $y \in Y$ ein $x \in X$ mit $f(x)=y$
  • Bijektiv wenn injektiv und surjektiv
  • Der Bildbereich (Ausschnitt) kann Klasse ändern
  • Wohldefiniert gdw jedem Wert der Definitionsmenge ein Wert der Wertemenge zugeordnet ist

Notationen

  • Einfache Summmennotation $\sum_{i=m}^{n} a_i = a_{m} + a_{m+1} + ... + a_{n}$
  • Einfache Multiplikationsnotation $\prod_{i=m}^{n} a_i = a_{m} \cdot a_{m+1} * ... * a_{n}$
  • Doppelsummen Notation (2 Indizes) $\sum_{xy}^{z}$
  • $\sum_{1 \le k \le 3} * \sum_{1 \le h \le 3} =$
    $= \sum_{1 \le k \le 3} (a_{k1} + a_{k2} + a_{k3}) =$
    $= (a_{11} + a_{12} + a_{13}) + (a_{21}, ...) + ...$

Gruppe

Das Paar $(G,*)$ heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind

  • Assiozativ $a*(b*c)=(a*b)*c=:a*b*c$
  • Neutrales Element vorhanden $a*e=e*a = a$
  • zu a inverses vorhanden $a*b = b * a = e$

Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch gdw das Kommutativgesetz giltet $a*b=b*a$

Ring

Das Tripel $(R, +, *)$ heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind

  • $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe
  • Assiozativgesetz: für alle $a,b,c \in R$ ist $(ab)c = a(bc)$
  • Neutrales Element / Einselement für $(R,*)$
  • Distributivgesetz: $(a+b)c=(ac)+(bc)$

Ein Ring heißt kommutativ wenn das Kommutativgesetz giltet: $ab=ba$

Es gibt im Ring keine Division!

Körper

  • Sei $(R,+,*)$ ein kommutativer Ring
  • mindestens 2 Elemente
  • Jedes Element von $R \setminus \{0\}$ invertierbar
  • Abbildungen von 2 Elementen in K verweisen auf ein weiteres Element in K (Abgeschlossenheit)
  • Division $a/b:=(a*b)^{-1}$

Komplexe Zahlen

  • Paar $z(a,b)$ reeler Zahlen wobei $z=(Realteil, Immaginärteil)$
  • $C=\{(a,b)|a,b \in \mathbb{R}\} (\mathbb{R} \times \mathbb{R})$
  • Addition $z+z' := (a,b) + (a', b') :=$
    $(a+a', b+b')$
  • Multiplikation $z*z' := (a,b) * (a', b') :=$
    $(a*a'-b*b', a*b'+a'*b)$

Rechenregeln für ganze und rationale Zahlen

  • $(a+b)+c=a+(b+c)=:a+b+c$ Assoziativ
  • $0+a=a+0=a$ Neutrales Element Addition
  • $a+(-a) = (-a)+a=0$
  • Es gibt ein Inverses
  • $a+b=b+a$ Kommutativ
  • $(a*b)*c=a*(b*c)=:a*b*c$ Assoziativ
  • $1*a=a*1=a$ Neutrales Element Multiplikation
  • $a*b=b*a$ Kommutativ
  • $(a+b)*c=(a*c)+(b*c)=:a*c+b*c$ Distributivgesetz

Der Induktionsbeweis

Sei m eine natürliche Zahl und sei ($A_m, A_{m+1}, ...$) eine Folge von Aussagen

  • Wenn A_m wahr ist und für alle $n>m$ aus $A_{n-1}$ auch An folgt dann sind alle Aussagen $A_n$ mit $n \le m$ wahr
  • Es wird meistens nur gezeigt, dass der Induktionsanfang $I_A$ und der Schluss $I_S$ richtig sind

Darstellung von Zahlen durch Ziffern

Seien $a$(Ausgangszahl) und $b$(Basis) natürliche Zahlen

  • $a=z_{n}b^{n}+z_{n-1}b^{n-1}+ ... + z_{1}b^{1}=\sum_{i=0}^{n}z_{i}b^{i}$

Lexiographische Ordnung

  • $(1,2,3,4) \lt_{lex} (1,2,4,3)$
  • $(1,2) \lt_{lex} (2)$

Grundrechnungsnamen

  • $\frac{Divident}{Divisor} = Quotient$
  • ${Multiplikator} * {Multiplikand} = Produkt$
  • $Mantisse * Basis ^ {Exponent} = Potenz$

Matrix Grundbegriff

Eine $m \times n$ Matrix mit Koeffizienten (Eintrag) in K bzw eine $m \times n$ Matrix über K ist eine Funktion $A:\{1,2,...,m\} \times \{1,2,...,n\} \to K, (j,j) \mapsto A(i,j)$ bzw ist A das Kartesisches Produkt von 2 Mengen, abgebildet auf den Körper wobei der Koeffizient ein Tupel ist, welches den Index für die Zeile und Spalte darstellt. $A = (A_{ij})_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ wobei $i$ der Zeilen- und $k$ der Spalten Index ist

Summe von Matrizen

  • Matrizen müssen die selbe Größe haben
  • Werte werden Spalten bzw Zeilenweise Summiert
  • Summe von Matrizen ist kommutativ

Null Matrix

  • Alle Elemente 0
  • Neutrales Element einer Kommutativen Gruppe von Matrizen

Einheitsmatrix

  • Für Elemente i,j einer beliebigen Indexmenge ist das Kronecker-Delta in K 1 wenn j=i sonst 0
  • $I_n=\begin{bmatrix}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{bmatrix}$
  • Auch Standard Matrix genannt

Multiplikation Matrix Zeile und Spalte

  • $A*B:=(A_1, ..., A_n) * \left(\begin{array}{c}B_1\\\vdots\\B_n\end{array}\right) := $
    $A_{1}B_{1} + ... + A_{n}B_{n} = \sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$
  • $(1,2,3)*\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right) = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32$

Multiplikation Matrix

  • Wenn $A*B$ dann muss A gleich viele Spalten wie B zeilen haben
  • Das Ergebnis hat dann die Zeilen von A und die Spalten von B

Elementarmatrizen

Die Elementar/Eleminationsmatrizen werden mit anderen Matrizen multipliziert wodurch elementare Spalten und Zeilen umformungen möglich werden. Unterschied zur Einheitsmatrix ist eine Änderung eines Eintrages oder vertauschen 2er Zeilen. Sie sind invertierbar (dadurch umkehrbar)

  • Typ1: $I_n + rE_{kl}$ Ein Wert abseits der Hauptdiagonale verändert
  • Typ2: $I_n - E_{kk} - E_{ll} + E_{kl} + E_{lk}$ Zeilen vertauscht
  • Typ3: $I_n + (t-1)E_{kk}$ Ein wert in der Hauptdiagonale verändert

Elementare Zeilen und Spaltenumformungen

  • Typ1: zur $k$-ten Zeile/Spalte von A das $r$-facche der $l$-ten Zeile/Spalte addieren
  • Typ2: die $k$-te und $l$-te Zeile/Spalte von A vertauschen
  • Typ3: die $k$-te Zeile/Spalte von A mit $t$ multiplizieren

Systeme Linearer Gleichungen

  • Besteht aus einer Matrix $A \in K^{m \times n}$ und eine Spalte $b \in K^{m \times 1}$
  • homogen wenn b Spalte die 0 Spalte ist sonst inhomogen
  • Gesucht ist eine "gute Beschreibung" der Menge $L(A,b) : \{x|x \in K^{n \times 1} mit Ax=b\}$ aller n-Spalten mit x, für die Ax=b ist

Anzahl der Lösungen eines Linearen Gleichungssystems

  • L ist leer -> keine Lösung
  • L einthält genau 1 Element -> Lösung existiert und ist eindeutig bestimmt
  • L enthält mindestens 2 Elemente. Wenn K unendlich ist (bei K=Q), dann auch unendlich viele Lösungen

Vektorraum

  • Das Tripel $(V, +, *)$ ist ein Vektorraum über K, wenn 1. $(V, +)$ abelsche gruppe, 2. Distributivgesetz und 3. Assiozativgesetz (also wie Körper ohne Kommutativgesetz)
  • Elemente von V heißen Vektoren
  • Elemente von K heißen Skalare
  • Verknüpfungen: + Addition und * Skalarmultiplikation

Untervektorraum

Eine Teilmenge U von V heißt Untervektorraum von V wenn

  • $0_V \in U$ Der Null Vektorraum ist als trivialer Untervektorraum enhtalten
  • die Summe 2er Vektoren von U auch in U ist
  • alle Skalren vielfachen eines Vektors v von U in U ist

Schreibweise $U \le V$

Vektor

  • Linearkombination := Endliche Teilmenge von Vektoren mit Skalaren $V=K_{i1}V_{i1} + ... + K_{in}V_{in}$
  • linear unabhängig wenn Skalare 0 sind
  • linear abhängig wenn es Skalare gibt, von denen nicht alle 0 sind oder wenn eine nicht triviale Lineark. des Nullvektors möglich ist oder wenn es ein Körperelement $K \neq 0$ mit $K*V=0$
  • Bei einzelnen Vektoren nur Nullvektor linear unabhängig sonst folgen von Vektoren (Reihenfolge unbestimmt)
  • Bei Folge linear abhängiger Vektoren min. 1 der sich als linear Konbination anderer darstellen lässt

Linearkombination

  • Vektor der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und skalaren Multiplikation darstellen lässt
  • $w = c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = \sum_{i=1}^{n}c_iv_i$

Erzeugendensystem

  • Menge von Vektoren mit der sich eine Menge gesuchter Vektoren als linear Kombination darstellen lässt

Lineare Unabhängigkeit

  • dürfen nicht in einander enthalten sein! (vielfaches)
  • (1,0) und (2,0) sind linear abhängig
  • (1,0) und (0,1) sind linear unabhängig

Basis

  • ist Erzeugendensystem bei dem alle Vektoren linear unabhängig sind

Dimension

  • Rang der Basis daher Anzahl Zeilen/Spalten der Basis da ja Lin. Unabhängigkeit
  • z.b. die Dimension von $R^3$ ist mindestens 3

Rang

  • Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren
  • Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren
  • Gleicher Rang für beide obrige Optionen

Stufenform

  • Koeffizent 0,0 (oben links) darf nicht 0 sein

Pivot Element

  • Wird gebildet durch Pivotzeile und Pivotspalte
  • Dabei ist es der Wert, der zu den andern Zeilen/Spalten/Werten hinzumultipliziert wird z

Der Gauss Algorithmus

  • Ziel ist die Stufenform
  • Umformung durch Zeilen und Spalten umformungen
  • Keine Zeile doppelt verechnen (z.b. von anderer abziehen)

Affiner Untervektorraum

  • Teilmenge, welche durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht
  • Es sei V ein Vektorraum über K, dann sei eine Menge Z ein Untervektoorraum wenn ein Vektor $p \in V$ und Untervektorraum U existieren so dass $Z=p+U := \{p+x|u \in U \}$
  • der Vektor $p$ wird dabei Aufpunkt genannt

Paremterform, Lineare Form

  • Parameterform $z=p+ \sum_{i=1}^{k}c_iv_i$
  • Implizierte Form $Z=L(A,b)$

Skalarprodukte

  • Produkt 2er Vektoren ergibt Skalar (Maßzhal)
  • Wenn 0 dann orthogonal $\perp$ (rechter winkel)
  • $\left(\begin{array}{c}2\\-9\\4\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5\\2\\2\end{array}\right) =$
    $= (2*5) + (-9*2) + (4*2) = 0$

Standardskalarprodukt

  • Produkt eines Zeilen und eines Spaltenvektors
  • Damit ist die umlegung von z.b. winkel in höhrere Dimensionen möglich

Orthonormalbasis

Ein n-Tupel $(v_1, ..., v_n)$ von V ist genau dann eine Othonormalbasis bezüglich $\langle -, - \rangle$, wenn die Gram'sche Matrix $(\langle v_i, v_j \rangle)_{1\leq i,j \leq n}$ gleich der Einheitsmtarix $I_n$ ist

Fußpunkt des Lotes

Es sei U ein Untervektorraum von V

  • Der Vektor $p_u(v)$ heißt Fußpunkt des Lotes von $v$ auf $U$
  • Dieser Vektor steht orthogonal auf U
  • Die ser Vektor hat den kleinsten Abstand vom Vektor v

Winkel

  • Lage 2er Halbgeraden zueinander, welche der "Länge des Bogens" auf dem Einheitskreis entspricht

Bilinearform

  • Eine Abbildung mit der Eigenschaft der Bilinearität sowie der Symmetrie

Gram'sche Matrix

  • Wird für das Gram-Schmidtsches Orthogonal sowie normalisierungsverfahren benötigt
  • Bildet eine Matrix durch die Basis eines Vektorraums zusammen mit der Bilinearform

Orthogonal vs Orthonormal

  • Orthogonal - Winkelrestriktion
  • Orthonormal - Winkel und Längen restriktion (Länge 1)

Gram-Schmidtsche OrthoGONALisierungsverfahren

  • Erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren ein Otrhogonalsystem, das denselben Unterbektorraum erzeugt

Gram-Schmidtsche OrthonNORMALisierungsverfahren

  • Erweiterung des Orthogonalisierungsverfahrens - berechent das Orthonormalsystem

Hintereinanderführung von Funktionen

  • $f : X \to Y$ und $g : Y \to Z$ dann $f \circ g := f(g(x))$ dabei wird zuerst $g(x)$ berechnet und das Ergebnis für $f(x)$ eingesetzt
  • Wird von rechts nach links bearbeitet!
  • 2 Mengen sind gleich mächtig (Anzahl) wenn es eine Bijektive Abbildung gibt
  • 2 Unendliche Mengen sind gleich mächtig z.b. $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$
  • Jede Unendliche Menge enthält eine Teilmenge der selben Mächtigkeit
  • Assoziativ (Klammern können vernachlässigt werden)

Umkehrfunktionen

  • Sei $ f: M \to N$ eine bijektive Funktion
  • $f^{-1}: N \to N, n \mapsto Urbild$ von $n$ bezüglich $f$ ist die zu $f$ inverse Funktion
  • Die zu $f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}, 1 \mapsto 2,2 \mapsto 3,3 \mapsto 1$ inverse Funktion ist $f^{-1}: \{1,2,3\} \to \{1,2,3\},1 \mapsto 3,2 \mapsto 1,3 \mapsto 2$
  • ist $f$ bijektiv, dann gilt $f \circ f^{-1} = Id_N$ und $f^{-1} \circ f = Id_N$
  • Ist $f \circ g = Id_N$ und $g \circ f = Id_M$ dann ist $f$ bijektiv und $g=f^{-1}$

Translation

  • Es sei $v \in V$. Die Funktion $t_v: V \to V, x \mapsto x+v$ heißt translation oder Verschiebung um $v$ in $V$
  • Jede Translation ist bijektiv, die Umkehrfunktionen von $t_v$ ist $t_{-v}$
  • Die Hinterinanderausführung zweier Translationen ist wieder eine Translation für $v,w \in V$ ist $t_v \circ t_w = t_{v+w} = t_w \circ t_v$

Pfeil

  • Menge von 2 Punkten
  • Reihenfolge wichtig da richtung von Pfeil
  • Paar $(a,e) \in M \times M$

Transposition

  • Permutation, die nur 2 Elemente vertauscht

Permutation

  • Bijektive Funktion, welche die Reihenfolge einer Menge ändert $\sigma : \{1,2,...,n\} \to \{1,2,...,n\}$
  • Wird oft als $2 \times n$ Matrix geschrieben $\left(\begin{array}{c}1&2&...&n\\ \sigma (1) & \sigma (2) & ... & \sigma (n)\end{array}\right)$
  • Die Anzahl aller Permutationen ist $S_n$ und hat genau $n!$ Elemente
  • Beispiel $\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7\\5&4&6&7&3&1&2\end{array}\right)$
  • Signum einer Permutation ist das Vorzeichen $sign(\sigma):= (-1)^{n-p-m}$
  • Jede Permutation lässt sich als Komposition (Verknüpfung) von Transpositionen darstellen

Zykel

  • Permutation bei der Elemente Zyklisch vertauscht werden
  • $\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7\\2&3&7&4&1&6&5\end{array}\right)$
  • Zykel von $\left(\begin{array}{c}3,7,5,1,2\end{array}\right)$ bedeutet, dass 3 auf 7 abgebildet wird, 7 auf 5, 5 auf 1 und 1 auf 2
  • Mehrere Zykel bilden ebenso eine Permutation

Fixpunkt

  • Wenn ein Element in einer Menge durch eine Permutation nicht geändert wird, so ist das ein Fixpunkt

Polynomfunktionen

  • Sei $f: K \to , z \mapsto a_0 + a_2z^2 + ... + a_nz^n = \sum_{i=0}^{n}a_iz^i$ eine Polynomfunktion

Transponierte Matrix

  • Spiegeln an der Haupt Diagonalen / Zeilen und Spalten vertauschen
  • Einfach Zeilen als Spalten schreiben oder umgekehrt
  • Auch bei Vektoren möglich
  • Beispiel $\left(\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}\right)$ wir zu $\left(\begin{array}{c}2&4\\3&5\end{array}\right)$

Determinanten

  • Hilfsmittel bei der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
  • Gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert
  • Kreuzprodukt $det \left(\begin{array}{c}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}\right) = $
    $A_{11}A_{22}A_{33} + A_{21}A_{32}A_{13} + A_{31}A_{12}A_{23} - $
    $A_{31}A_{22}A_{13} - A_{11}A_{32}A_{23}-A_{21}A_{12}A_{13}$
  • Transponieren ändert die Determinante nicht
  • Wenn 2 Zeilen oder Spalten gleich, ist die Det. 0
  • Matrix in 3ecks Form ist det Produkt der Haupt Diag.

Orientierung

  • Zerlegung aller Basen in V in 2 disjunkte Teilmengen (die mit gleich orintierter Basen und die anderen)

Volumen

  • $vol(P(w_1,...,w_n)):=|det(S)|$

Vektorprodukt

Eigenwerte

Eigenvektoren

Eigenraum

  • Der Eigenraum ist die Menge aller Eigenvektoren für einen bestimmten Eigenwert

Quadratische Funktionen

Lineare Funktionen

Isomorphismus

Matrix einer linearen Funktion